解説
偶数・奇数・連続整数の表し方
整数の性質を証明するには、文字を使って数を一般的に表すよ。偶数は $2n$、奇数は $2n + 1$、連続する整数は $n, n + 1$ のように表せるんだ。
- 偶数: $2n$（$n$ は整数）、奇数: $2n + 1$
- 連続する整数: $n, n + 1, n + 2$
- 連続する偶数: $2n, 2n + 2, 2n + 4$
- $k$ の倍数: $kn$（$n$ は整数）
証明の手順
文字式を使った証明は3ステップで進めるよ。① 文字で表す → ② 式を計算 → ③ 「○○の形だから△△」と結論を書くんだ。
- ① 仮定: 数を文字で表す（偶数なら $2n$、奇数なら $2n + 1$）
- ② 計算: 和・差・積などを計算して整理する
- ③ 結論: 「$k \times$（整数）の形だから $k$ の倍数」のように書く
2けた・3けたの自然数と文字式
2けたの自然数は十の位を $a$、一の位を $b$ として $10a + b$ と表せるよ。3けたなら $100x + 10y + z$ だね。
- 2けた: $10a + b$（$a$ は1〜9、$b$ は0〜9）
- 位を入れかえた数: $10b + a$
- 3けた: $100x + 10y + z$
- 和 $(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)$ → 11の倍数
等式の変形
等式をある文字について解くことを「等式の変形」と言うよ。求めたい文字以外を移項して、その文字だけにするんだ。
- 目的の文字を左辺に残し、それ以外を移項する
- 例: $a = b + c$ を $b$ について解く → $b = a - c$
- 例: $S = \frac{ah}{2}$ を $h$ について解く → 両辺を2倍して $2S = ah$ → $h = \frac{2S}{a}$
- 分数やかけ算がある場合は、両辺に同じ数をかけてから移項する
公式の等式変形
理科や数学の公式も等式の変形で別の文字について解けるよ。$V = \pi r^2 h$ なら $h = \frac{V}{\pi r^2}$ のように変形できるんだ。
- $V = \pi r^2 h$ → $h = \frac{V}{\pi r^2}$
- $S = \frac{(a+b)h}{2}$ → $h = \frac{2S}{a+b}$
- $V = \frac{1}{3}x^2 h$ → $h = \frac{3V}{x^2}$
よくある証明パターンのまとめ
テストに出やすい証明パターンを押さえておこう。連続する整数の和、偶数・奇数の計算、位の入れかえの3パターンが定番だよ。
- 連続3整数の和 → $3(n+1)$ → 3の倍数
- 奇数 + 奇数 → $2(m+n+1)$ → 偶数
- 2けたの数 + 入れかえた数 → $11(a+b)$ → 11の倍数
- 2けたの数 − 入れかえた数 → $9(a-b)$ → 9の倍数