解説
文章題の解き方—立式の手順
連立方程式の文章題では、次の手順で解こう。① 何を $x$, $y$ にするか決める → ② 問題文から 2 つの等しい関係を見つけて式にする → ③ 連立方程式を解く → ④ 答えが問題に合うか確認する。「何を未知数にするか」を最初にはっきり決めるのがいちばん大切だよ。
- 求めたいものを $x$, $y$ とおく
- 問題文から 2 つの等しい関係を見つける
- 連立方程式を解き、代入法か加減法を使う
- 答えが問題の条件に合っているか必ず確認する
数量・代金の問題
「合計の個数」と「合計の金額」のように、2 つの条件から 2 つの式を立てるのが基本パターン。例えば、りんご $x$ 個とみかん $y$ 個を買ったとき、「合計の個数が 10」なら $x + y = 10$、「合計金額が 1150 円」なら $150x + 80y = 1150$ と立式できる。
- 個数の合計 → $x + y = (合計)$
- 金額の合計 → $(単価_1)x + (単価_2)y = (合計金額)$
- 係数が大きいときは両辺を割って簡単にする
- 2 けたの数の問題は $10x + y$ と表す
割合の問題
割合の問題では「$A$ の $p$% は $A \times \dfrac{p}{100}$」を使って式を立てるよ。例えば、1 年生 $x$ 人の 40% と 2 年生 $y$ 人の 30% の合計が 105 人なら、$0.4x + 0.3y = 105$ と書ける。小数の式は 10 倍や 100 倍して整数にすると計算しやすい。
- $A$ の $p$% $= A \times \dfrac{p}{100}$
- 小数の式は 10 倍・100 倍して整数にする
- 「全体の人数」と「割合から求めた人数」で 2 式
- 分数にして通分する方法でもOK
割合の増減の問題
「$p$% 増加」は元の量の $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ 倍、「$p$% 減少」は $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$ 倍。例えば「20% 引き」は元の値段の $0.8$ 倍、「10% 増」は元の値段の $1.1$ 倍だね。定価の合計と割引後の合計金額で連立方程式を立てよう。
- $p$% 増 → 元 $\times (1 + \dfrac{p}{100})$
- $p$% 減 → 元 $\times (1 - \dfrac{p}{100})$
- 20% 引き → $0.8$ 倍、30% 引き → $0.7$ 倍
- 「定価の合計」と「割引後の合計」で 2 式を立てる
よくあるミスと注意点
文章題では立式ミスが多い。特に注意したいのは、① 何を $x$, $y$ にしたか忘れる、② 単位をそろえ忘れる、③ 割合の小数を掛け忘れる、④ 検算をしない、の 4 つ。解いた後は必ず元の問題文に戻って確認しよう。
- $x$, $y$ が何を表すか必ず書く
- 割合は $\dfrac{p}{100}$ を忘れずに掛ける
- 小数の式は 10 倍・100 倍して整数にする
- 解いた後は元の問題文に代入して確認