解説
かっこがある連立方程式
かっこがある連立方程式は、まず分配法則でかっこを展開し、同類項をまとめて $ax + by = c$ の標準形に整理してから解くよ。
- かっこを展開（分配法則）→ 同類項をまとめる → $ax + by = c$ の形に整理
- 例: $2(x + 3) + y = 11$ → $2x + 6 + y = 11$ → $2x + y = 5$
- 両辺にかっこがある場合も同様に展開: $5(x-1) = 3(y+1)$ → $5x - 3y = 8$
- 移項するときは符号の変化に注意！
係数に分数がある連立方程式
分数を含む連立方程式は、分母の最小公倍数（LCM）を両辺にかけて分数をなくしてから解くよ。整数の式に直せば、いつもの加減法や代入法で解けるんだ。
- 分母の最小公倍数を両辺にかけて分数をはらう
- 例: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5$ → 分母 $2, 3$ のLCMは $6$ → $3x + 2y = 30$
- $\frac{x-1}{3} + \frac{y}{2} = 2$ のように分子にかっこがある場合、LCMをかけた後に展開して整理
- 分数をはらってから加減法 or 代入法で解く
係数に小数がある連立方程式
小数があるときは、小数の桁数に合わせて $10$ 倍や $100$ 倍して整数に直そう。小数第1位までなら $10$ 倍、小数第2位までなら $100$ 倍だよ。
- 小数第1位まで → $10$ 倍（例: $0.2x + 0.3y = 1.3$ → $2x + 3y = 13$）
- 小数第2位まで → $100$ 倍（例: $0.02x + 0.05y = 0.16$ → $2x + 5y = 16$）
- $10$ 倍した後、さらに共通因数で割れる場合は割って簡単にする
- 例: $1.2x - 0.3y = 0.9$ → $12x - 3y = 9$ → $4x - y = 3$
A = B = C の形の方程式
$A = B = C$ の形は、2つの方程式に分けて連立方程式として解くよ。$A = B$ と $B = C$、または $A = B$ と $A = C$ のどちらの組み合わせでもOKだよ。
- $A = B = C$ → $\begin{cases} A = B \\ B = C \end{cases}$ または $\begin{cases} A = B \\ A = C \end{cases}$ に分ける
- 右辺が定数のとき（$A = B = 7$ など）はそれぞれ独立に解ける
- 例: $x + y = 2x - 1 = 5$ → $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - 1 = 5 \end{cases}$
- 3つの式から2つ選ぶので、計算しやすい組み合わせを選ぼう
連立方程式の解と文字の値
連立方程式の解（$x, y$ の値）が分かっているとき、未知の係数 $a, b$ を逆に求めることができるよ。解を代入して $a, b$ の方程式を作ろう。
- 解を両方の式に代入 → $a, b$ についての連立方程式ができる
- 例: $ax + 2y = 7$ に $x=1, y=2$ を代入 → $a + 4 = 7$ → $a = 3$
- $a, b$ が両方の式に混ざっている場合は、$a, b$ の連立方程式を解く
- 求めた $a, b$ を元の式に戻して検算しよう
整理のポイントまとめ
どんな形の連立方程式でも、最初に「$ax + by = c$」の標準形に整理するのが鉄則。かっこ→展開、分数→LCMをかける、小数→$10$倍$100$倍。整理さえできれば、あとはいつもの加減法・代入法で解けるよ！
- かっこ → 展開して整理
- 分数 → 分母のLCMをかけて整数化
- 小数 → $10$倍・$100$倍して整数化
- $A = B = C$ → 2つの式に分ける
- 解と文字 → 解を代入して逆算