解説
整数の性質の証明
展開や因数分解を使って、整数の性質を証明できるよ。「連続する整数」「奇数・偶数」を文字で表して式を作り、展開して整理するのが基本パターン。
- 連続する2つの整数: n, n+1
- 連続する2つの奇数: 2n-1, 2n+1
- 連続する2つの偶数: 2n, 2n+2
- 「○の倍数」を示すには ○×(整数) の形にまとめる
因数分解を利用した数の計算
a²−b² = (a+b)(a−b) を使えば、2つの数の2乗の差が簡単に計算できるよ。大きな数のひき算も一瞬！
- 35²−25² = (35+25)(35−25) = 60×10 = 600
- 51×49 = (50+1)(50−1) = 50²−1² = 2499
- 数をきりのいい数±小さい数と考えるのがコツ
展開の公式を利用した数の計算
(a+b)² や (a−b)² の公式を使えば、100に近い数の2乗も暗算できるよ。
- 101² = (100+1)² = 10000+200+1 = 10201
- 98² = (100−2)² = 10000−400+4 = 9604
- 10.3×9.7 = (10+0.3)(10−0.3) = 100−0.09 = 99.91
式の値の計算
式の値を求めるときは、いきなり代入せずに先に式を簡単にしよう。因数分解や展開で式を整理してから代入すると計算がグッと楽になるよ。
- x=96のとき x²+8x+16 → (x+4)² = 100² = 10000
- (x+3)(x−6)−x(x−5) → 展開して −3x−18 にしてから代入
- x²−y² → (x+y)(x−y) にしてから代入
図形の性質の証明
長方形のまわりの道の面積や正方形を重ねたときの面積など、図形の性質も式の計算で証明できるよ。面積を文字で表して展開・因数分解するのがポイント。
- 道の面積 S = 幅m × 真ん中の線の長さℓ
- 大きい長方形の面積−小さい長方形の面積で道の面積を求める
- 展開して整理 → 因数分解で美しい公式にまとめる