展開の応用

置き換え・式を簡単にする・式のおきかえ

解説

置き換えを使った展開

(3x+1)² のように、a や b が数でないときは、かたまりを1つの文字に置き換えると公式が使いやすくなるよ。

(3x+1)² → a=3x, b=1 とおいて公式2: 9x²+6x+1
(4x−1)² → a=4x, b=1 とおいて公式3: 16x²−8x+1
(5x−2y)² → a=5x, b=2y: 25x²−20xy+4y²
係数付きのときは (3x)²=9x² のように係数も2乗する！

分数を含む展開

分数が入っていても公式はそのまま使えるよ。2ab の計算を丁寧にしよう。

(a−½b)² = a²−ab+¼b²
(x+⅓)(x+⅔) → 足して1、かけて2/9
分数の2乗: (½b)² = ¼b²

式を簡単にする

公式で展開した後に同類項をまとめて式を簡単にする問題。手順は「展開→カッコを外す→同類項をまとめる」の3ステップ。

3(x+4)(x+2)−(x−5)² → 展開してまとめて 2x²+28x−1
(x+3)²−(x−3)² = 12x（x²と定数が消える！）
マイナスのカッコを外すとき符号が全部変わるのに注意

式のおきかえ

式の中に共通する部分があるとき、それをMに置き換えると公式が使えるよ。最後にMを元に戻すのを忘れずに。

(x+y+4)(x+y+3) → M=x+y → (M+4)(M+3)
(a+b−1)² → M=a+b → (M−1)²
(2x+y+1)(2x+y−1) → M=2x+y → M²−1

重要用語

(3x+1)² の展開のコツは？: a=3x, b=1 とおいて公式2を使う (3x)² + 2×3x×1 + 1² = 9x² + 6x + 1
(4x−1)² = ?: 16x² − 8x + 1 (4x)²=16x², 2×4x×1=8x, 1²=1
(5x−2y)² = ?: 25x² − 20xy + 4y² (5x)²=25x², 2×5x×2y=20xy, (2y)²=4y²
(2a+7b)(2a−7b) = ?: 4a² − 49b² 和と差の積: (2a)²−(7b)²
(a−½b)² = ?: a² − ab + ¼b² 2×a×½b = ab, (½b)² = ¼b²
(3x)² はいくつ？: 9x² 3²×x² = 9x²（3x² ではない！）
公式の見分け方: (□+△)(□−△) の形は？: 公式4（和と差の積）を使う → □² − △²
公式の見分け方: (□+△)² の形は？: 公式2を使う → □² + 2×□×△ + △²
式を簡単にする手順は？: ①公式で展開 ②カッコを外す（符号注意） ③同類項をまとめる
−(x²−10x+25) のカッコを外すと？: −x² + 10x − 25 マイナスのカッコを外すと全項の符号が変わる

確認クイズ

$(3x + 1)^2$ を展開すると？
$(a - \frac{1}{2}b)^2$ を展開すると？
$(2a - 7b)(2a + 7b)$ を展開すると？
$(x - 2)^2 + x(x + 1)$ を展開して簡単にすると？
$(x+5)(x+3) - (x+4)^2$ を簡単にすると？