解説
A×B=0の原則
2つの数をかけて0になるなら、少なくともどちらか一方は0。これが二次方程式を因数分解で解くときの大原則だよ。
- A × B = 0 ならば A = 0 または B = 0
- (x−2)(x−3) = 0 なら x−2 = 0 または x−3 = 0
- 答え: x = 2 または x = 3
因数分解して解く手順
右辺を0にして、左辺を因数分解。あとは「A×B=0」の原則を使えばOK。中3の因数分解がここで活きるよ！
- 手順①: 右辺を0にする（移項して整理）
- 手順②: 左辺を因数分解する
- 手順③: 各因数 = 0 として x の値を求める
完全平方式と差の平方
因数分解の公式を使えば、特別な形の二次方程式もスイスイ解けるよ。x²−a²=0 なら和と差の積、x²±2ax+a²=0 なら完全平方式を使おう。
- x²−a² = 0 → (x+a)(x−a) = 0 → x = ±a
- x²−2ax+a² = 0 → (x−a)² = 0 → x = a（重解）
- x²+2ax+a² = 0 → (x+a)² = 0 → x = −a（重解）
係数をそろえてから因数分解
x²の係数が1でないときや、マイナスがついているときは、まず全体を割って x²+bx+c=0 の形にしてから因数分解しよう。
- 例: −x²+5x−6=0 → 両辺に−1をかけて x²−5x+6=0
- 例: 2x²−10x+12=0 → 両辺を2で割って x²−5x+6=0
- 例: −4x²+8x−4=0 → −4で割って x²−2x+1=0
展開→整理→因数分解
右辺が0でない方程式は、まず展開して整理してから因数分解しよう。(x−3)(x−4)=2 のような式は、そのまま因数分解できないよ！
- (x−3)(x−4)=2 → x²−7x+12=2 → x²−7x+10=0 → (x−2)(x−5)=0
- 右辺が0でないと A×B=0 の原則が使えない！
- 必ず右辺を0にしてから因数分解すること