解説
平方完成（(x+m)²=nの形にする）
因数分解できない二次方程式は「平方完成」で解けるよ。x²+bx を (x+m)² − m² の形に変換するテクニックだよ。
- x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)²
- 例: x² + 6x = (x+3)² − 9
- (x+m)² = n の形にすれば x+m = ±√n で解ける
平方完成で二次方程式を解く手順
x²+px+q=0 を平方完成で解くには、まず定数項 q を移項し、x²+px の形にしてから (p/2)² を足して引くよ。(x+p/2)²=n の形になったら、両辺の平方根をとって x を求めよう。
- Step1: x² + px = −q（定数項を移項）
- Step2: (x + p/2)² = (p/2)² − q（平方完成）
- Step3: x + p/2 = ±√((p/2)² − q)（平方根をとる）
解の公式 x = (−b±√(b²−4ac)) / 2a
平方完成の考え方を一般化したのが「解の公式」。ax²+bx+c=0 の a, b, c を代入するだけで解が求まる万能公式だよ！
- 解の公式: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- b²−4ac（判別式）が正なら解2つ、0なら解1つ、負なら解なし
- どんな二次方程式でもこの公式で解ける！
判別式 b²−4ac と解の個数
解の公式のルートの中身 b²−4ac を「判別式」というよ。判別式の符号で解の個数がわかるんだ。判別式が0のとき解は1つだけで、これを「重解」と呼ぶよ。
- b²−4ac > 0 → 異なる2つの実数解
- b²−4ac = 0 → 重解（解が1つ）
- b²−4ac < 0 → 実数解なし
- 重解のとき x = −b / 2a
解の公式の使い方のコツ
解の公式を使うときは、まず a, b, c を正確に読み取ることが大切。特に b が負のときの「−b」の処理や、c が負のときの「−4ac」が正になることに注意しよう。√の中身を簡単にすることも忘れずに！
- b が負のとき −b は正になる（符号ミスに注意）
- c が負のとき −4ac は正になる
- √の中身は素因数分解して簡単にする（√12 = 2√3）
- 分子・分母を約分できるか最後に確認