値の変化と変域

x=0をまたぐときに注意

解説

y = ax² では、x が増加しても y が常に増加するわけではないよ。a > 0 のとき、x < 0 の範囲では x が増えると y は減り、x > 0 の範囲では x が増えると y も増えるんだ。つまり x = 0 を境にして y の変化の仕方が逆になる！

y = ax² で x の変域が与えられたとき、y の変域を求めるのがよく出る問題だよ。特に x の変域が x = 0 をまたぐとき（例: -2 ≤ x ≤ 3）は要注意！x = 0 のとき y = 0 が最小値（a > 0）または最大値（a < 0）になるんだ。

y = ax² の増減を表にまとめると整理しやすいよ。a の符号と x の範囲の組み合わせで、y が増加するか減少するかが決まるんだ。テストではこの表を頭に入れておくと素早く判断できるよ。

「y の変域がわかっていて a を求める」という逆問題もよく出るよ。まず x = 0 を含むかチェックして、最大値（または最小値）を与える x の値を特定し、y = ax² に代入して a を求めるんだ。

$y = ax^2$ の「変域」とは？: $x$ や $y$ がとりうる値の範囲のこと。不等号を使って $a \leq x \leq b$ のように表す。
$y = ax^2$（$a > 0$）で $x = 0$ のとき $y$ は？: 最小値 $0$ をとる。グラフの頂点が原点にあり、上に開いているため。
$y = ax^2$（$a < 0$）で $x = 0$ のとき $y$ は？: 最大値 $0$ をとる。グラフの頂点が原点にあり、下に開いているため。
$a > 0$ のとき、$x < 0$ の範囲で $x$ が増加すると $y$ は？: $y$ は減少する。
$a > 0$ のとき、$x > 0$ の範囲で $x$ が増加すると $y$ は？: $y$ は増加する。
$a < 0$ のとき、$x < 0$ の範囲で $x$ が増加すると $y$ は？: $y$ は増加する。
$a < 0$ のとき、$x > 0$ の範囲で $x$ が増加すると $y$ は？: $y$ は減少する。
変域を求めるとき最初にチェックすべきことは？: $x$ の変域に $x = 0$ が含まれるかどうか。
$x$ の変域が $0$ をまたぐとき（$a > 0$）、$y$ の最大値はどこで決まる？: 変域の端の値のうち、絶対値が大きい方の $x$ の値で決まる。
$x$ の変域が $0$ をまたぐとき（$a < 0$）、$y$ の最小値はどこで決まる？: 変域の端の値のうち、絶対値が大きい方の $x$ の値で決まる。