解説
変化の割合の計算
変化の割合は「y の増加量 ÷ x の増加量」で求めるよ。y = ax² では、x が p から q まで変化するとき、変化の割合 = a(p + q) という公式が成り立つんだ。一次関数では変化の割合は常に a（傾き）で一定だったけど、y = ax² では区間によって変わるのが大きな違い！
- 変化の割合 = y の増加量 ÷ x の増加量
- y = ax² では変化の割合 = a(p + q)（x が p から q に変化）
- 区間によって変化の割合が異なる
公式 a(p + q) の導出
y = ax² で x が p から q に変化するとき、y の増加量 = aq² − ap² = a(q² − p²) = a(q + p)(q − p)。x の増加量 = q − p。変化の割合 = a(q + p)(q − p) ÷ (q − p) = a(p + q)。p と q を足して a をかけるだけで求められるよ！
- aq² − ap² = a(q + p)(q − p) と因数分解する
- (q − p) で約分して a(p + q) が得られる
- 公式を使えば y の値を代入しなくてOK
平均の速さ
ボールが斜面を転がるとき、x 秒後の移動距離が y = ax²（cm）で表されることがあるよ。このとき、ある区間の平均の速さ = 移動距離 ÷ かかった時間 = 変化の割合そのものなんだ。公式 a(p + q) を使えばすぐ求められる！
- 平均の速さ = 移動距離 ÷ 時間 = 変化の割合
- y = ax² のとき平均の速さ = a(p + q)
- 時間が経つほど平均の速さが大きくなる（加速する）
一次関数との比較
一次関数 y = ax + b では変化の割合は常に a で一定だったね。でも y = ax² では変化の割合が区間ごとに変わるんだ。これは放物線が曲線だから、場所によって傾きが違うことを意味しているよ。
- 一次関数: 変化の割合 = a（常に一定）→ グラフは直線
- y = ax²: 変化の割合は区間で変わる → グラフは曲線
- 一次関数は一定の速さで増減、y = ax² は加速・減速する
放物線と直線の交点・面積
y = ax² と y = mx + n の交点は、ax² = mx + n を解けば求められるよ。二次方程式を因数分解して x の値を出し、y の値を求めればOK。原点 O と交点 A, B で△OAB を作るとき、直線の y 切片で三角形を分割すると面積が求めやすいよ。
- 交点: ax² = mx + n を二次方程式として解く
- △OAB の面積: y 切片で2つの三角形に分割
- 底辺を y 軸上にとり、高さを各点の |x| にする