分母の有理化

分母の√をなくそう

解説

有理化の方法

分母にルートがあるとき、分母と分子に同じルートをかけて分母のルートをなくすことを「有理化」というよ。1/√2 なら分母分子に √2 をかけると √2/2 になるんだ。

有理化: 分母の√をなくすこと
1/√a → (1×√a)/(√a×√a) = √a/a
例: 1/√2 = √2/2、3/√5 = 3√5/5

計算練習のポイント

有理化はルートの計算の基本テクニック。分母にルートがあったら必ず有理化しよう。分子に数がある場合も、分母分子に同じルートをかけるだけだよ。

分母分子に「同じ√」をかけるのがコツ
√a × √a = a（ルートが消える！）
約分できるときは最後に約分する

先に簡単にしてから有理化

分母が $\sqrt{8}$ や $\sqrt{12}$ のように簡単にできるルートのときは、先に変形してから有理化すると計算が楽になるよ。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ に直してから有理化するのがポイントだ。

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ など、まず分母を簡単にする
例: $\frac{4}{\sqrt{8}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
分母に係数が出たら分子と約分できることが多い

√をふくむ式の値

√3 = 1.732 などの近似値が与えられたとき、1/√3 のような式の値を求めるには、先に有理化して √3/3 にしてから数値を代入すると計算しやすいよ。

先に有理化してから数値を代入する
例: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。√3 = 1.732 を代入すると $\frac{1.732}{3} \approx 0.577$
分母に√があると割り算がむずかしいので必ず有理化する

重要用語

有理化とは何か？: 分母にある $\sqrt{}$（無理数）をなくして、分母を有理数にすること。分母分子に同じルートをかけて行う。
有理化の基本手順は？: 分母分子に分母と同じ $\sqrt{a}$ をかける。$\frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b \times \sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a}$
$\sqrt{a} \times \sqrt{a}$ はいくつ？: $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$。同じルート同士をかけるとルートが消えて中の数になる。これが有理化の核心！
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ を有理化すると？: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{3}}$ を有理化すると？: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。分母分子に $\sqrt{3}$ をかけて、$\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ を利用する。
$\frac{1}{\sqrt{5}}$ を有理化すると？: $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。分母分子に $\sqrt{5}$ をかけて、$\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ を利用する。
有理化したあと約分が必要なのはどんなとき？: 有理化後の分子の係数と分母の数に公約数があるとき。例: $\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$（6と2を2で約分）
$\frac{4}{\sqrt{8}}$ を有理化するとき、まず何をする？: 先に分母を簡単にする。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ なので $\frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$。その後 $\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
分母を先に簡単にするのはなぜ有利？: 分母の係数が大きいと有理化後の数も大きくなり約分が面倒。先に簡単にすると数が小さくなり計算ミスが減る。例: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ に直してから有理化。
$\sqrt{}$ をふくむ式の除法 $a\sqrt{b} \div \sqrt{c}$ の手順は？: ① 分数にまとめる: $\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ ② 分子のルートと分母のルートを計算: $a\sqrt{\frac{b}{c}}$ または有理化して整理。

確認クイズ

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ を有理化すると？
$\frac{6}{\sqrt{2}}$ を有理化すると？
$\frac{2}{\sqrt{6}}$ を有理化すると？
$\frac{4}{\sqrt{8}}$ を有理化すると？（先に $\sqrt{8}$ を簡単にしよう）
$\frac{10}{\sqrt{5}}$ を有理化・約分すると？