根号の和差と展開

同じ√はまとめられる

解説

同じルートの数は、文字式の同類項と同じようにまとめられるよ。3√2 + 5√2 = 8√2 のように、ルートの前の数だけを足し引きするんだ。ただし √2 + √3 のように違うルートはまとめられないから注意！

ルートを含む式でも展開公式が使えるよ。(√3 + 1)(√3 − 1) は (a+b)(a−b) = a² − b² の形だから、(√3)² − 1² = 3 − 1 = 2 になる。ルートが消えてスッキリ！

分配法則 a(b+c) = ab+ac はルートを含む式でもそのまま使えるよ。√2(√6+√3) なら、√2×√6 + √2×√3 = √12 + √6 = 2√3 + √6 となる。ルート同士のかけ算を先に計算してから簡単にするのがコツ！

(√a + b)² や (√a − b)² のような完全平方公式もルートで使えるよ。(√5 + 2)² = (√5)² + 2×2×√5 + 2² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5 のように展開する。符号に気をつけて丁寧に計算しよう。

「x = √5 + 1 のとき x² − 2x + 1 の値を求めよ」のような問題では、式を因数分解や変形してから代入すると計算が楽になるよ。x² − 2x + 1 = (x−1)² だから、x−1 = √5 を代入すると (√5)² = 5 となる。有理化を使って式を整理するのも大事！

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$ を計算すると？: $8\sqrt{2}$。同じ $\sqrt{2}$ の係数を足す: $(3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ はまとめられる？: まとめられない。根号の中が違う（2と3）ので、そのまま $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ と表す
$\sqrt{8} + \sqrt{2}$ を計算する手順は？: 先に $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ と簡単にしてから、$2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{a}(\sqrt{b} + \sqrt{c})$ を展開すると？: $\sqrt{ab} + \sqrt{ac}$。分配法則をそのままルートに適用する
$\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{3})$ を展開すると？: $\sqrt{12} + \sqrt{6} = 2\sqrt{3} + \sqrt{6}$。$\sqrt{2}\times\sqrt{6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
$(\sqrt{a} + b)(\sqrt{a} - b)$ を展開すると？: $a - b^2$。和と差の積の公式: $(\sqrt{a})^2 - b^2 = a - b^2$
$(\sqrt{a} + b)^2$ を展開すると？: $a + 2b\sqrt{a} + b^2$。完全平方公式: $(\sqrt{a})^2 + 2 \cdot b \cdot \sqrt{a} + b^2$
$(\sqrt{a} - b)^2$ を展開すると？: $a - 2b\sqrt{a} + b^2$。符号に注意: 真ん中の項がマイナスになる
$(\sqrt{5} + 2)^2$ を展開すると？: $9 + 4\sqrt{5}$。$(\sqrt{5})^2 + 2\times2\times\sqrt{5} + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4$
$(\sqrt{3} - 1)^2$ を展開すると？: $4 - 2\sqrt{3}$。$(\sqrt{3})^2 - 2\times1\times\sqrt{3} + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1$