根号の乗法・除法

√の中身どうしを計算

解説

√a × √b = √(ab) の計算

ルートどうしのかけ算は、中身どうしをかけてルートの中に入れるだけ！√2 × √3 = √6 のようにシンプルだよ。わり算も同じで、√a ÷ √b = √(a/b) になるんだ。

乗法: √a × √b = √(ab)
除法: √a ÷ √b = √(a/b)
例: √2 × √3 = √6、√10 ÷ √2 = √5

√の中を小さくする（素因数分解）

√12 のように中身が大きいときは、素因数分解して簡単にしよう。√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3。完全平方数を外に出すのがポイントだよ。

√12 = √(4×3) = 2√3（4 = 2² を外に出す）
√48 = √(16×3) = 4√3（16 = 4² を外に出す）
ルートの中は「素因数分解」で整理する

a√b ⇔ √c の変形

$a\sqrt{b}$ の形と $\sqrt{c}$ の形は相互に変形できるよ。$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \times b}$ の関係を使おう。たとえば $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18}$。逆に $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ と簡単にできるね。

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$（外の数を2乗して中に入れる）
$\sqrt{c} = a\sqrt{b}$（中から完全平方数を取り出す）
例: $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$、$4\sqrt{3} = \sqrt{48}$

√をふくむ式の値

$\sqrt{2} = 1.414$、$\sqrt{3} = 1.732$、$\sqrt{5} = 2.236$ などの近似値が与えられたとき、$\sqrt{200}$ のような式を工夫して計算できるよ。$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} = 10 \times 1.414 = 14.14$ のように変形するのがコツ。

$\sqrt{200} = 10\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$ の形に変形）
$\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$ の形に変形）
与えられた近似値が使えるよう $\sqrt{2}$・$\sqrt{3}$・$\sqrt{5}$ の形にそろえる

重要用語

$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ の計算方法は？: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ ルートの中身どうしをかけるだけ！例: $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$
$\sqrt{a} \div \sqrt{b}$ の計算方法は？: $\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ルートの中身どうしをわるだけ！例: $\sqrt{10} \div \sqrt{2} = \sqrt{5}$
素因数分解とは？: 自然数を素数（2, 3, 5, 7, …）のかけ算に分解すること。例: $12 = 2^2 \times 3$、$18 = 2 \times 3^2$、$50 = 2 \times 5^2$ √を簡単にする基本ステップ！
完全平方数を小さい順に10個答えよ。: $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ （$2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2$）これらがルートの外に出せる数のもと！
$\sqrt{12}$ を簡単にすると？: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ $12 = 2^2 \times 3$ なので $2^2$ を外に出す。
$\sqrt{18}$ を簡単にすると？: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ $18 = 3^2 \times 2$ なので $3^2$ を外に出す。
$\sqrt{20}$ を簡単にすると？: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ $20 = 2^2 \times 5$ なので $2^2$ を外に出す。
$\sqrt{27}$、$\sqrt{32}$、$\sqrt{45}$ を簡単にすると？: $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$（$27 = 3^2 \times 3$） $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$（$32 = 4^2 \times 2$） $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$（$45 = 3^2 \times 5$）
$\sqrt{50}$、$\sqrt{72}$、$\sqrt{75}$ を簡単にすると？: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$（$50 = 5^2 \times 2$） $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$（$72 = 6^2 \times 2$） $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$（$75 = 5^2 \times 3$）
$\sqrt{98}$ を簡単にすると？: $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}$ $98 = 7^2 \times 2$ なので $7^2$ を外に出す。

確認クイズ

$\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ はいくつ？
$\sqrt{18}$ を簡単にすると？
$\sqrt{30} \div \sqrt{6}$ はいくつ？
$\sqrt{12} \times \sqrt{3}$ はいくつ？
$\sqrt{72}$ を簡単にすると？